向量点乘与叉乘

在几何开发中，如何能够了解几何相关的知识，可以帮助我们快速解决问题，减少对现有 SDK 的依赖。本文总结了向量点乘和叉乘的区别及一些应用场景。

点乘（Dot Product）

定义

Dot_Product

从代数上讲，点积是两个数列中对应项的乘积的和。

假设有两个向量 $\overrightarrow{a}=[a_1,a_2,...,a_n]$、$\overrightarrow{b}=[b_1,b2,...,b_n]$，则有 $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$$ 从几何上讲，它是两个向量在欧几里空间里的长度值和它们夹角的余弦值的乘积。 $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|cos\theta$$

点乘又叫内积、数量积、投影积

特点

1. 交换律

   $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$

2. 分布律

   $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$

3. 双线性

   $\overrightarrow{a}\cdot (\gamma \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\gamma (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})$

4. 标量相乘

   $(c_1\overrightarrow{a})\cdot (c_2\overrightarrow{b})=c_1{c}_2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

5. 不满足结合律

   $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})\ne (\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}⟺\overrightarrow{a}\cdot \gamma \ne \beta \cdot \overrightarrow{c}$

   由于向量 $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{c}$，从上式中可以看出，向量内积不满足结合律。

6. 正交性

   当两个非零向量垂直时，它们的内积为 0。

7. 不满足消除律

   在代数中，当 $a\cdot b=a\cdot c$ 时，一定有 $b=c$，但是在向量中不满足这个规律。

   当 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ 且 $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ 时，通过分布律有 $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$，只需要满足 $\overrightarrow{a}$ 垂直于 $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ 即可，而不一定非要求 $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

8. 乘积律

   当向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 可微，则有 $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{)}^{{}^{\prime }}={\overrightarrow{a}}^{{}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{b}}^{{}^{\prime }}$

实际应用

1. 判断两个向量是否垂直

   内积为 0

2. 判断两个向量同向还是反向

   同向内积为下，返回为负

3. 用于求两个向量的夹角

   $cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}$

叉乘（Cross Product）

定义

假设有两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$，它们的叉乘表达如下： $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot sin\theta \cdot \overrightarrow{n}$$

• $\theta$ 是两个向量的夹角

• $\overrightarrow{n}$ 是同时包含向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的平面的单位法向量

• 当两个向量平行时，其值为 $\overrightarrow{0}$

• 向量的叉乘满足右手定律

  

叉乘又叫外积

几何意义

两个向量叉乘的模代表分别以两个向量为边的四边形的面积。 $$S=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot sin\theta$$

混合积

向量的混合积代表以这三个向量为边的六面体的体积。 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=b\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=c\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\text{(2)}& V=|\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})|\end{array}$$

参考

1. Dot product-wiku
2. Cross product
3. 点乘和叉乘的区别是什么