DTranform3d和DMatrix理解

发表于 2021-09-27 更新于 2023-04-13 分类于 Bentley ， Develop ，几何变换本文字数： 2k 阅读时长 ≈ 2 分钟

DTransform3d 是 Bentley 中几何变换的类，通过它可以快速生成变换矩阵。

程序集	命名空间
Bentley.GeometryNET.Structs.dll	Bentley.GeometryNET

DPoint3d

代表点，点也可以看成是从原点开始的向量

DVector3d

代表向量

DMatrix

它的类型的是 Struct，代表方阵，有 DMatrix2d、DMatrix3d、DMatrix4d，是基本的数学几何表达。

DTransform3d

DTransform3d 是齐次表达式型矩阵的一种封装，有 DTransform2d 和 DTransform3d，分别代表 2x3 和 3x4 阶矩阵。

它内部的一些变换使用到了 DMatrix，因为 DMatrix 是结构体，运行在栈上，执行效率高。

Bentley 中使用 DTransform3d 来实现三维变换，它使用三维矩阵加上一个平移矩阵的方式来表达齐次矩阵。

Bentley 在进行三维仿射时，其原理是先将 DTransform3d 中的数据转成一个三维齐次矩阵，然后再对图形左乘变换矩阵进行变换。

左乘

要对图形进行仿射变换，需要左乘矩阵，同时，变换的顺序是从右向左的。

Bentley 中很多对象重载了运算符，可以方便进行仿射变换，在使用的过程中，直接使用 * 号即可。

例如: 对 DVector3d 进行变换，可以使用：

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DVector3d vector = DVector3d.UnitZ;
DTransform3d trans = DTransform3d.Identity;
DVector3d result = trans * vector;

关于矩阵的理解

矩阵的通用表达式为： \[ M_{local} \cdot P_{local} = M_{world} \cdot P_{world} = I \cdot P \] 从上面的表达式中，我们可以理解为：

对象的真实坐标为 \(P\)
P 在世界坐标系中是 \(P_{world}\)
P 在局部坐标系中是 \(P_{local}\)

所以，如果要将一个坐标系转换到另一个坐标系，可以先将该坐标系中的点转换到真实坐标，然后再通过真实坐标转换到另一个坐标系中。

假设有坐标系： \[ \begin{align} M_1 \cdot P_1 = M \cdot P \\ M_2 \cdot P_2 = M \cdot P \end{align} \] 如果要将 \(P_1\) 变成 \(P_2\),则可以： \[ M_1 \cdot P_1 = M_2 \cdot P_2 => P_2 = M_2^{-1} \cdot M_1 \cdot P_1 \] 要转换到某个坐标系，就要左乘该坐标系的逆矩阵。

混淆概念解析

在使用 DTranform3 时，经常会有 worldToLocal 和 localToWorld，它们的关系如下： \[ \begin{align} P_{world} = M_{localToWorld} \cdot P_{local} \\ M_{worldToLocal} = M_{localToWorld}^{-1} \end{align} \]

worldToLocal

将世界坐标系转换到局部坐标系，从而获取局部坐标，即是局部坐标系矩阵的逆矩阵。

对于元素来说，就是将世界坐标系中的元素旋转到自己定义的坐标系下
localToWorld

worldToLocal的逆矩阵

求逆变换

逆矩阵

在 DTransform3d 的实例上，有一个 TryInvert，调用该方法可以获取一个变换的逆变换。因为一个矩阵，不一定是可逆的，所以 TryInvert 不一定会获取到逆变换，需要根据返回值来确定。

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// 使用代码片段
DTransform3d trans = new DTransform3d(cursorLocation.ViewRotation);
trans.TryInvert(out DTransform3d invertTras);

伪逆

一个矩阵不一定有逆矩阵，但是一定有伪逆。所以可以通过下列方法求得：

// DTransform 中包含静态 FromPseudoInverse，直接调用即可
public static DTransform3d FromPseudoInverse(DTransform3d transform)
{
    // 先转置
    DMatrix3d matrix = new DMatrix3d(transform).Transpose();
    DVector3d vector = DMatrix3d.Multiply(matrix,-transform.coffxw,-transform.coffyw,-transform.coffzw);
    // 对转置进行平移
    return FromMatrixAndTranslation(matrix, vector);
}