凸包问题的 5 种算法

前言

首先,什么是凸包? 假设平面上有p0~p12共13个点,过某些点作一个多边形,使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候,我们就叫它“凸包”。如下图:

图片1

然后,什么是凸包问题? 我们把这些点放在二维坐标系里面,那么每个点都能用 (x,y) 来表示。 现给出点的数目为13,和各个点的坐标。求构成凸包的点?

解一:穷举法(蛮力法)

时间复杂度:O(n³)。 思路:两点确定一条直线,如果剩余的其它点都在这条直线的同一侧,则这两个点是凸包上的点,否则就不是。 步骤:

  1. 将点集里面的所有点两两配对,组成 n(n-1)/2 条直线。

  2. 对于每条直线,再检查剩余的 (n-2) 个点是否在直线的同一侧。

如何判断一个点 p3 是在直线 p1p2 的左边还是右边呢?(坐标:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3))

这里写图片描述 当上式结果为正时,p3 在直线 p1p2 的左侧;当结果为负时,p3 在直线 p1p2 的右边。

或者采用向量法判断(叉乘):

向量 v12=p2-p1

向量 v13=p3-p1

如果 v12 x 13 的方向与 +Z相反,则在右侧,否则在左侧。

解二:分治法

时间复杂度:O(n㏒n)。 思路:应用分治法思想,把一个大问题分成几个结构相同的子问题,把子问题再分成几个更小的子问题……。然后我们就能用递归的方法,分别求这些子问题的解。最后把每个子问题的解“组装”成原来大问题的解。 步骤:

  1. 把所有的点都放在二维坐标系里面。那么横坐标最小和最大的两个点 P1 和 Pn 一定是凸包上的点(为什么呢?用反证法很容易证明,这里不详讲)。直线 P1Pn 把点集分成了两部分,即 X 轴上面和下面两部分,分别叫做上包和下包。
  2. 对上包:求距离直线 P1Pn 最远的点,即下图中的点 Pmax 。
  3. 作直线 P1Pmax 、PnPmax,把直线 P1Pmax 左侧的点当成是上包,把直线 PnPmax 右侧的点也当成是上包。
  4. 重复步骤 2、3。
  5. 对下包也作类似操作。
这里写图片描述

然而怎么求距离某直线最远的点呢?我们还是用到解一中的公式: 这里写图片描述 设有一个点 P3 和直线 P1P2 。(坐标:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)) 对上式的结果取绝对值,绝对值越大,则距离直线越远。

注意:在步骤一,如果横坐标最小的点不止一个,那么这几个点都是凸包上的点,此时上包和下包的划分就有点不同了,需要注意。

解三:Jarvis步进法

时间复杂度:O(nH)。(其中 n 是点的总个数,H 是凸包上的点的个数) 思路:

  1. 纵坐标最小的那个点一定是凸包上的点,例如图上的 P0。
  2. 从 P0 开始,按逆时针的方向,逐个找凸包上的点,每前进一步找到一个点,所以叫作步进法。
  3. 怎么找下一个点呢?利用夹角。假设现在已经找到 {P0,P1,P2} 了,要找下一个点:剩下的点分别和 P2 组成向量,设这个向量与向量P1P2的夹角为 β 。当 β 最小时就是所要求的下一个点了,此处为 P3 。
这里写图片描述

注意:

  1. 找第二个点 P1 时,因为已经找到的只有 P0 一个点,所以向量只能和水平线作夹角 α,当 α 最小时求得第二个点。
  2. 共线情况:如果直线 P2P3 上还有一个点 P4,即三个点共线,此时由向量P2P3 和向量P2P4 产生的两个 β 是相同的。我们应该把 P3、P4 都当做凸包上的点,并且把距离 P2 最远的那个点(即图中的P4)作为最后搜索到的点,继续找它的下一个连接点。

解四:Graham扫描法

时间复杂度:O(n㏒n) 思路:Graham 扫描的思想和 Jarris 步进法类似,也是先找到凸包上的一个点,然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点,但它不是利用夹角。 这里写图片描述 步骤:

  1. 把所有点放在二维坐标系中,则纵坐标最小的点一定是凸包上的点,如图中的P0。

  2. 把所有点的坐标平移一下,使 P0 作为原点,如上图。

  3. 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ,按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时,距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8。我们由几何知识可以知道,结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。


    (以上是准备步骤,以下开始求凸包)

  4. 以上,我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1,我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里,把 P1 后面的那个点拿出来做当前点,即 P2 。接下来开始找第三个点:

  5. 连接P0和栈顶的那个点,得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5;如果在直线上,或者在直线的左边就执行步骤6。

  6. 如果在右边,则栈顶的那个元素不是凸包上的点,把栈顶元素出栈。执行步骤4。 当前点是凸包上的点,把它压入栈,执行步骤7。

  7. 检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点,返回步骤4。

最后,栈中的元素就是凸包上的点了。 以下为用Graham扫描法动态求解的过程: 这里写图片描述

解五:Melkman算法

这里写图片描述 说真的,这个算法我也还没有看清。网上的资料也少的可怜,我暂且把网上的解释截个图在这里,往后搞懂以后再回来补上。 或者有人看懂了的,希望不吝指教,不甚感激!

扩展

以上讨论的只是二维的凸包,如果延生为三维、多维的凸包问题呢?如何求解? 不过首先,二维凸包可以用来解决围栏问题、城市规划问题、聚类分析等等。但是三维、多维的凸包可能的使用范畴有哪些?

致谢

原文链接:https://blog.csdn.net/Bone_ACE/article/details/46239187